Matemáticas
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Ítem Análisis de estructuras del grupo de monodromía y el grupo de Galois para polinomios por medio del teorema de Abel-Ruffini(2021) Barón Aya, Mónica Julieth; González Galeano, Andrei Alain; Herrera Carvajal, EstebanEl teorema fundamental del álgebra garantiza que la ecuación general de grado n tiene al menos una solución en los complejos, pero no es posible encontrar una solución general por radicales para tal ecuación cuando n ≥ 5, esta afirmación es conocida como el teorema de Abel-Ruffini. Son varias las demostraciones para este teorema, siendo una de estas la planteada por el mismísimo Niels Henrick Abel. Sin embargo, en este trabajo las demostraciones de interés son aquellas desarrolladas por Évariste Galois y Vladimir Igorevich Arnold, quienes abordan el teorema desde distintos campos de la matématica; por un lado, la primera demostración usa el grupo de Galois, por su parte, la segunda usa el grupo de monodromía. El objetivo principal del presente trabajo consiste en analizar el grupo de Galois desde la Teoría de Galois y el grupo de monodromía desde la topología Algebraica con el fin de encontrar las herramientas que permitan la creación de un isomorfismo entre ambos grupos. Para ello se realiza una revisión de todos los conceptos previos que permiten comprender a cada uno de los grupos con su respectiva demostración del teorema de Abel-Ruffini. Tras el análisis se encuentra que los grupos de Galois de un polinomio f(x) y monodromía de una función multivaluada w(z) son grupos de permutaciones, en el primer caso se permutan las raíces del polinomio, mientras que en el segundo hay una permutación de los posibles valores que toma la función w al ser evaluada en un punto z_0. Además, si se toma la función multivaluada w(z) tal que f(w(z)) = 0 las permutaciones del grupo de Galois permutan la misma cantidad de elementos que las del grupo de monodromía.Ítem Diseño e implementación de dashboards para la visualización de clústeres agregados de regiones geográficas(2019) Vargas Cuervo, Diego Felipe; Ramos Montaña, Jesús DavidEn este trabajo, se propone la implementación de Dashboards como herramientas visuales adecuadas para la toma e_ciente de decisiones y el direccionamiento de políticas públicas. Como ejemplo de aplicación, se plantea el diseño y desarrollo de un Dashboard que permita la visualización de clústers de municipios agregados espacialmente para el departamento de Antioquia. La construcción y caracterización de dichos clústeres se realizará a través de un método propio del aprendizaje no supervisado, denominado Clúster Jerárquico Aglomerativo Espacial con Restricciones de Vecindad.Ítem Un estudio de las propiedades de las funciones continuas en un intervalo cerrado desde las ideas peirceanas del continuo(2021) Montenegro Barón, Jaime Esteban; Vargas Mancera, Francisco JavierCon la aritmetización del análisis predomina en la academia la enseñanza del cálculo desde la noción de límite y las concepciones del continuo de Cantor y Dedekind; incluso cuando Abraham Robinson formuló el análisis no estándar en 1966, este no predominó tanto como el “análisis estándar“ Si bien es cierto que el análisis que conocemos hoy en día se puede estudiar desde las concepciones del continuo de Cantor y Dedekind, existen distintas formas de abordarlo; por ejemplo, se pueden considerar las características que Charles S. Pierce atribuía al continuo como lo son la inextensibilidad (no se reduce a puntos), la potencialidad (El continuo no está completamente determinado y dado), la reflexividad (’toda parte es semejante al todo’) y la supermultitud (el continuo no es capturable por ningún cardinal Cantoriano). Este trabajo tiene como fin explorar el modelo C_Ord que reúne las ideas de Peirce mencionadas anteriormente junto con algunos conceptos básicos del análisis infinitesimal suave(SIA) y el análisis no estándar. Se explora en particular el concepto de función continua y algunos de los teoremas clásicos de estas funciones tales como el teorema del valor intermedio y el teorema de Rolle.Ítem Interpretación del efecto mágico de la carta ambiciosa por medio de un modelo lógico dinámico proposicional(2022) Herrera Rueda, Felipe Alejandro; Vargas Mancera, Francisco JavierEn este trabajo de grado se interpreta el efecto mágico de la carta ambiciosa por medio de un modelo lógico dinámico proposicional. Además, se define lógicamente la construcción de la creencia en un evento imposible del espectador que es testigo de la ejecución de un juego de magia. Para ello se da un breve recorrido histórico del arte de la prestidigitación; se define que es la magia y el efecto mágico; se muestran los aspectos teóricos de la magia y la lógica utilizados en la modelación; se expone el modelo en cuestión y, finalmente, se realiza la interpretación. Adicionalmente, se pone en dialogo aspectos teóricos del arte de la prestidigitación con dicho modelo a fin de nutrirlo y dar una mirada interdisciplinar del fenómeno en cuestión.Ítem Modelo epidemiológico con demografía y tipos de comportamiento(2022) González Martínez, Nicolás; González Galeano, Andrei AlainEl objetivo de este trabajo es investigar el efecto que tienen diferentes comportamientos de la población con demografía en la dinámica de una enfermedad infecciosa. Se analiza un modelo SIS con dos clases de individuos con diferentes susceptibilidades. Se enfoca en determinar el número de reproducción de la enfermedad (R0) y los estados endémicos apoyándose en diagramas de flujo.Ítem Prototipo para la clasificación automática de imágenes histológicas para medir el riesgo de carcinoma ductal invasivo usando redes neuronales(2019) Jordán Ortega, Daniel José; Aranda Lozano, Diego Fernando; Benincasa, Tommaso; Benincasa, Tommaso [0000-0002-3159-1515]Este trabajo de grado se centra en el diseño e implementación de un prototipo basado en redes neuronales, específicamente de aprendizaje profundo (Deep Learning), capaz de clasificar de manera automática imágenes histológicas con Carcinoma Ductal Invasivo. El Carcinoma Ductal Invasivo, a veces denominado Carcinoma Ductal Infiltrante, es el tipo más común de cáncer de mama y alrededor del 80% de todos los casos de cáncer de mama son de esta naturaleza. Se utilizó para ello una variante de la red VVGNet 14 y redes neuronales convolucionales, con los cuales se logró un prototipo con una capacidad aproximada de 79% de sensibilidad y 79% de especificidad en el reconocimiento de imágenes histológicas con CDI.Ítem Una visión algebraica de la transformación de acordes musicales(2019) Reynoso Erazo, José Nicolás; González Galeano, Andrei AlainSiempre ha existido un interés por el estudio de las relaciones entre las matemáticas y la música, aunque en tiempos actuales este vínculo parece ser cada vez más difuso, debido a que si bien hay investigaciones en torno al tema, esta se concentran en teorías musicales que resultan sumamente desconocidas para el público no estudioso de esta disciplina, cómo lo de la Música Atonal, además de resultar poco aplicable para la composición actual. Con esto en mente, se enfocó este proyecto en aterrizar los estudios en torno a estas dos disciplinas, de modo que resultará más natural para las personas interesadas en ambas disciplinas, y otras no tan familiarizadas con ellas. El objetivo de esta investigación es estudiar la relación entre la teoría de grupos, más específicamente en el grupo de trabajo, el cual es básicamente el que reúne las posibles rotaciones y simetrías de un polígono regular, con las transformaciones (PLR y TI.) de acordes tonales en la escala cromática. Esto con la intención de modificar la estructura del grupo de transformaciones a partir del dietral. La pregunta de investigación se responde en dos pasos: el primero de ellos es una recopilación bibliográfica, donde se establecen algunos precedentes de esta relación que ya se había establecido en anteriores investigaciones; el segundo paso, es tomar como base los precedentes de la construcción de los grupos de transformaciones de forma algebraica, hallar el Isomorfismo con el grupo dietral D12, para posteriormente modificar la estructura de este grupo y observar el comportamiento de las transformaciones de acordes. Teniendo esto en cuenta, se llegó a que las transformaciones resultantes de alternar la estructura del grupo de trabajo al que es isomorfo, mantienen correctos musicalmente, aunque pierden esa actitud a la hora de relacionarnos por transitividad, llegando a contradicciones musicales. Además, se pudo llegar a un resultado que no se había planeado al comenzar la investigación cómo se construyó matemáticamente el grupo de las transformaciones TI para los acordes atonales de la escala Do Mayor, este último abre un campo a futuras investigaciones, donde se analicen esas transformaciones en otras escalas musicales.