Una visión algebraica de la transformación de acordes musicales
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2019
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Resumen
Siempre ha existido un interés por el estudio de las relaciones entre las matemáticas y la música, aunque en tiempos actuales este vínculo parece ser cada vez más difuso, debido a que si bien hay investigaciones en torno al tema, esta se concentran en teorías musicales que resultan sumamente desconocidas para el público no estudioso de esta disciplina, cómo lo de la Música Atonal, además de resultar poco aplicable para la composición actual. Con esto en mente, se enfocó este proyecto en aterrizar los estudios en torno a estas dos disciplinas, de modo que resultará más natural para las personas interesadas en ambas disciplinas, y otras no tan familiarizadas con ellas. El objetivo de esta investigación es estudiar la relación entre la teoría de grupos, más específicamente en el grupo de trabajo, el cual es básicamente el que reúne las posibles rotaciones y simetrías de un polígono regular, con las transformaciones (PLR y TI.) de acordes tonales en la escala cromática. Esto con la intención de modificar la estructura del grupo de transformaciones a partir del dietral. La pregunta de investigación se responde en dos pasos: el primero de ellos es una recopilación bibliográfica, donde se establecen algunos precedentes de esta relación que ya se había establecido en anteriores investigaciones; el segundo paso, es tomar como base los precedentes de la construcción de los grupos de transformaciones de forma algebraica, hallar el Isomorfismo con el grupo dietral D12, para posteriormente modificar la estructura de este grupo y observar el comportamiento de las transformaciones de acordes. Teniendo esto en cuenta, se llegó a que las transformaciones resultantes de alternar la estructura del grupo de trabajo al que es isomorfo, mantienen correctos musicalmente, aunque pierden esa actitud a la hora de relacionarnos por transitividad, llegando a contradicciones musicales. Además, se pudo llegar a un resultado que no se había planeado al comenzar la investigación cómo se construyó matemáticamente el grupo de las transformaciones TI para los acordes atonales de la escala Do Mayor, este último abre un campo a futuras investigaciones, donde se analicen esas transformaciones en otras escalas musicales.
Descripción
Abstract
There has always been an interest in the study of the relationship between mathematics and music, although in current times this link seems to be increasingly blurred, because although there is research on the subject, it focuses on musical theories that are extremely unknown to the public not studying this discipline, such as Atonal Music, besides being little applicable to the current composition. With this in mind, this project focused on grounding the studies around these two disciplines, so that it will be more natural for people interested in both disciplines, and others not so familiar with them. The objective of this research is to study the relationship between group theory, more specifically in the working group, which is basically the one that brings together the possible rotations and symmetries of a regular polygon, with the transformations (PLR and TI.) of tonal chords in the chromatic scale. This with the intention of modifying the structure of the group of transformations from the dietral. The research question is answered in two steps: the first one is a bibliographic compilation, where some precedents of this relation that had already been established in previous investigations are established; the second step, is to take as a base the precedents of the construction of the groups of transformations in an algebraic way, to find the Isomorphism with the dietral group D12, to later modify the structure of this group and to observe the behavior of the transformations of chords. Taking this into account, it was found that the transformations resulting from alternating the structure of the working group to the one that is isomorphic, maintain correct musically, although they lose that attitude at the time of relating us by transitivity, arriving at musical contradictions. In addition, it was possible to reach a result that had not been planned at the beginning of the research, how the group of the TI transformations was mathematically constructed for the atonal chords of the C major scale, the latter opens a field for future research, where these transformations are analyzed in other musical scales.
Palabras clave
Matemáticas, Música, Música atonal, Teoría de grupos, Rotaciones y simetrías, Polígono regular, Escala cromática
Keywords
Mathematics, Music, Atonal music, Group theory, Rotations and symmetries, Regular polygon, Chromatic scale