Descripción de modelos caóticos en teoría ergódica
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2024-05
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Resumen
Un sistema dinámico es aquel cuyo estado evoluciona con el paso del tiempo. El caos, es el comportamiento aparentemente aleatorio o impredecible en sistemas que se rigen mediante leyes deterministas. Y la teoría ergódica es la rama de las matemáticas que estudia el comportamiento a largo plazo de los sistemas dinámicos. El presente trabajo desarrolla una construcción teórica para proponer estrategias de análisis en los sistemas dinámicos discretos caóticos por medio de teoría ergódica. Inicialmente, se presentan conceptos preliminares de análisis, teoría de grupos, topología y sistemas dinámicos, necesarios para el posterior estudio del caos. Luego, se exponen formalmente los conceptos de funciones caóticas, fracciones continuas y números mal aproximados para realizar una construcción en conjunto con los sistemas dinámicos y así, establecer una relación intrínseca de los dos campos tratados en el trabajo. Esta relación se consiguió mediante el mapeo de Gauss, una función de recurrencia no lineal generada a partir de fracciones continuas.
Descripción
Abstract
A dynamic system is one whose state evolves through time. Chaos is the random or unpredictable behavior in systems governed by deterministic laws. And ergodic theory is the branch of mathematics that studies the long-term behavior of dynamic systems. Using ergodic theory, the present work develops a theoretical construction to propose analysis strategies in chaotic, discrete dynamical systems. Our journey begins with the introduction of preliminary concepts of analysis, group theory, topology, and dynamical systems. These are the building blocks necessary for the subsequent study of chaos. We then move on to formally present the concepts of chaotic functions, continued fractions, and badly approximable numbers. This progression allows us to construct a relationship between dynamical systems and chaos, establishing an intrinsic relation between the two fields treated in the work. This relationship was achieved using the Gaussian mapping, a nonlinear recurrence function generated from continued fractions.
Palabras clave
Fracciones Continuas, Función Caótica, Números Mal Aproximados, Sistemas Dinámicos
Keywords
Badly Approximable Numbers, Continued Fractions, Chaotic Function, Dynamical Systems